[next] [prev] [prev-tail] [tail] [up]

Vježba 3
Digitalna frekvencijska modulacija – FSK

3.1 Uvod

Na sl. 3.1 prikazana je blok shema frekvencijskog modulatora s diskretnim ulaznim (modulacijskim) signalom. Trenutna frekvencija moduliranoga signala jednaka je f01 u vremenskom intervalu koji je pridružen znaku ”0”, a u vremenskom intervalu znaka ”1” trenutna frekvencija je f02. Opći izraz za frekvencijsku modulaciju je (vježba br 2):

pict

Slika 3.1: Spektralna gustoća govornog signala

[ ∫ t ] xF M(t) = A cos 2πf0t+ kf v(τ)dτ -∞
(3.1)

Uz v(t) = V , ili -V , slijedi izraz za FSK modulirani signal:

⌊ ⌋ πmf- k∑-1 xF SK(t) = Acos⌈2 πf0t+ ak Ts (t - kTs) + πmf aj⌉ j=0
(3.2)

gdje je mf = kfV∕π indeks nodulacije, a ak ∈{-1,1} reprezentira digitalne simbole ’0’ i ’1’. Izraz,

πmf k∑-1 φrel(t) = ak-T-(t- kTs)+ πmf aj s j=0
(3.3)

u relaciji (3.2) predstavlja relativnu fazu. Na sl. 3.2 je prikazana relativna faza za ulazni slijed simbola a = (0 1 0 0 1) kao u primjeru na sl. 3.1.

pict

Slika 3.2: Dijagram relativne faze kod BPSK uz ulaznu sekvencu 01001

Deriviranjem argumenta funkcije cos(⋅) u izrazu (3.2) po vremenu tj. dφ(t)∕dt dobije se trenutna frekvencija:

1-dφ(t)= f0 + ak πmf- 2π dt 2πTs
(3.4)

Dakle, trenutna frekvencija je f0 ±△fmax, gdje je △fmax = πmf- 2πTs a predznak ovisi o binarnom simbolu (”0” ili ”1”). Indeks modulacije se može izraziti preko devijacije frekvencije i intervala signalizacije Ts, odnosno vrijedi:

m = 2△f T = (f - f )T f max s 02 01 s
(3.5)

gdje su f01 = f0 -△fmax i f02 = f0 + △fmax tonske frekvencije, a Ts je interval signalizacije odnosno trajanje simbola. Frekvencije f01 i f02 odgovaraju frekvencijama FSK signala u pojedinim intervalima. Spektralna gustoća XFSK(f) se može definirati na temelju općeg izraza za spektralnu gostoću signala podataka. Općenito XFSK(f) se sastoji od kontinuirane i diskretne komponente. Lako je zaključiti da se diskretne komponente javljaju kod tonskih frekvencija f01 i f02. Ako je signal dodatno oblikovan unutar intervala signalizacije, mogu se pojaviti i komponente kod višekratnika tonskih frekvencija. Posebno su zanimljivi sustavi kod kojih nema diskretnih komponenti. Takva se situacija javlja kad je indeks modulacije cijeli broj tj. mf = 1,2,3,... Veći indeks modulacije znači šire frekvencijsko područje. Može se pokazati da je minimalna vrijednost mf kod koje ostaje samo kontinuirana komponenta je 0,5. Uz mf = 0,5 FSK sustav se naziva minimum Shift Keying–MSK sustav i njegova primjena je od temeljne važnosti kod prijenosa podataka analognim kanalima.

3.2 Koherentna demodulacija FSK signala

Koherentni prijamnik za binarni FSK sustav (sl. 3.3) se sastoji od dva optimalna filtra. Svaki od filtara je ugođen na valni oblik kojim je predstavljen pojedini binarni simbol. Izlazi iz optimalnih filtara se uspoređuju i donosi se odluka o primljenom simbolu. Ako pretpostavimo komunikacijski kanal s aditivnim bijelim Gaussovim šumom (additive white Gaussian noise–AWGN), na izlazu iz filtara su sljedeće naponske razine:

ako je predajnik poslao binarni znak ”1”

∘ --- r1 = Es + n r0 = n
(3.6)

ako je predajnik poslao binarni znak ”0’

r1 = n r = ∘E--+ n 0 s
(3.7)

Es je energija signala na ulazu u prijemnik kojim se prenose binarni znakovi ”1” i ”0”, a n je slučajna varijabla iz Gaussove distribucije srednje vrijednosti 0 i varijance N0∕2 gdje je N0 dvostrana spektralna gustoća snage šuma u kanalu.

pict

Slika 3.3: Shema optimalnog prijamnika.

U odlučivaču odlučuje se o primljenom simbolu na temelju naponskih razina r0 i r1 na izlazu iz optimalnih filtara. Ako je naponska razina na izlazu filtra H1 (filtar H1 je ugođen na valni oblik kojim je predstavljen binarni znak ”1”) veći od nivoa na izlazu filtra H0 (filtar H0 je ugođen na valni oblik kojim je predstavljen binarni znak ”0”) odlučivač odlučuje da je primljen binarni znak ”1”, a u protivnom odlučuje da je primljen binarni znak ’0’. Pogreška nastaje ako je predajnik poslao npr. binarni znak ’1’, a u predajniku zbog šuma u kanalu izlaz iz filtra H0 bude veći od izlaza iz filtra H1, pa odlučivač odluči u korist 0. Izlaz iz optimalnih filtara može se prikazati u konstelacijskom dijagramu (sl. 3.4). Broj grešaka koji nastaje u prijenosu ovisi o spektralnoj gustoći snage šuma u kanalu i energiji primljenog signala. Taj odnos se može grafički prikazati u koordinatnom sustavu kojemu se na x osi navodi Eb∕N0 omjer u decibelima a na y osi logaritam po bazi 10 od BER - a, gdje je:

brojpogresno prenesenihbitova BER = -ukupanbrojprenesenih-bitova-
(3.8)

pict

Slika 3.4: Konstelacijski dijagram binarne FSK modulacije.

Zadaci
  1. Niz simbola, ”1” i ”0” frekvencijski modulirati koristeči funkciju <dmod>. Neka je trajanje simbola Ts = 0.05s. Za objašnjenje funkcije <dmod> u Matlabu utipkati ’help dmod’.
  2. Grafički prikazati frekvencijski modulirani signal i izračunati indeks modulacije.
  3. Ponoviti zadatke 1 i 2 (bez grafičkog prikazivanja signala) ako je treći parametar u pozivu funkcije <dmod> 0.25 umjesto 0.5 te objasniti vezu između indeksa modulacije i frekvencija signala kojima su predstavljeni binarni znakovi ’1’ i ’0’.
  4. Simulirati prijenos binarnih poruka binarnim FSK sustavom preko AWGN komunikacijskog kanala Monte Carlo simulacijom za sljedeće Eb∕No omjere u decibelima: 0, 2, 4, 6, 8 i 10.
    1. Za zadane Eb∕No omjere u decibelima izračunati omjere u apsolutnom iznosu.
    2. Za izračunati Eb∕No izračunati Eb ako je No = 1, i sa izračunatim Eb ponavljati simulaciju za svaki zadani Eb∕No omjer. Kao rezultat simulacije dobija se broj pogrešno prenesenih bitova, a ukupni broj bitova je 20000. Nakon simulacije grafički se prikazuju detektirani simboli u konstelacijskom dijagramu funkcijom <scatter>. Objasni vezu između rasipanja položaja detektiranih simbola i Eb∕No omjera. Na konstelacijskom dijagramu objasniti kad nastaje pogreška.
    3. Izračunati BER.
    4. Grafički prikazati ovisnost BER o odnosu Eb∕No. VAŽNO - u grafičkom prikazu na x osi je Eb∕No u decibelima, a na y osi logaritam po bazi 10 od BER - a.
Upute za rad
  1. 1., 2. i 3. zadatak. Definiranje frekvencijski moduliranog niza 1 0.
     
    >> yfsk = dmod([1 0], 3, 0.5, 100,’fsk’, 2, 1);
  2. Definiranje vremenske osi i grafičko prikazivanje frekvencijskimoduliranog signala. Trajanje oba simbola (0 i 1) je 0.1
     
    >> T = 0.1; 
    >> dt = T/length(yfsk); 
    >> t = 0:dt:T -dt; 
    >> plot(t,yfsk)
  3. Zadatak 4, (pisati u m-file):
     
    %  analiza BER  - a 
    %  definiranje energije simbola (Eb) i spektralne 
    %  gustoće snage šuma (No) 
    Eb = 1; 
    No = 1; 
     
    %  proračun varijance slučajne varijable 
    varijanca = No/2; 
    N  = 20000; 
     
    %  generiranje slucajnog ulaznog niza 
    %  duljine 20000 bitova 
    binarniNiz = randint(1,N); 
     
    %  mapiranje ulaznog binarnog niza u konstelacijski 
    %  dijagram (binarni znak ’0’ u vrijednost sqrt(Eb), 
    %  a znak ’1’ u vrijednost i*sqrt(Eb)) 
    ulaz = sqrt(Eb)*exp(i*pi/2*binarniNiz); 
     
    %  dodavanje gaussovog šuma na primljeni signal 
    ulaz = ulaz + sqrt(varijanca)*randn(1,N)+ ... 
                     i*sqrt(varijanca)*randn(1,N); 
     
    %  proračunavanje udaljenosti vektora primljenog 
    %  simbola s točkom sqrt(Eb) i točkom i*sqrt(Eb) 
    %  i odlučivanje u korist onog binarnog znaka s 
    %  kojim primljeni simbol ima manju udaljenost 
    dx = abs(ulaz-1); 
    dy = abs(ulaz-i); 
    odluceno = (dx- dy) > 0; 
     
    %  brojanje gresaka nastalih u prijenosu 
    brojGresaka = sum(xor(binarniNiz,odluceno)) 
     
    %  Grafičko prikazivanje 500 primljenih simbola u konstelacijskom 
    %  dijagramu funkcijom <scatter> (Matlab: help scatter). 
    scatter(real(ulaz(1:500)),imag(ulaz(1:500))) 
    EbNodb = 10*log10(Eb/No)

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]