[next] [prev] [prev-tail] [tail] [up]

Vježba 2
Frekvencijska modulacija – FM

2.1 Uvod

Frekvencijska modulacija – FM je modulacija analognog tipa kod koje modulacijski signal v(t) utječe na, odnosno modulira, frekvenciju signala nosioca g(t) (Sl. 2.1).

pict

Slika 2.1: Blok shema frekvencijskog modulatora

Trenutna faza φ(t) frekvencijski moduliranog signala xFM(t) i trenutna frekvencija ft povezane su preko izraza:

ft =-1-dφ(t)-= f0 + kfv(t) 2π dt 2π
(2.1)

Signal na izlazu iz FM modulatora je općenito složen i neprikladan za analizu. Stoga je uobičajeno da se u svrhu kvalitativne procjene spektralnog sadržaja pretpostavi da su signali g(t) i v(t) kosinusnog oblika amplituda A0 i V te frekvencija f0 i fm . U tom slučaju vrijedi:

[ ∫ ] t xFM (t) = A0cos 2πf0t+ kf -∞ v(τ )dτ [ k V ] = A0cos 2πf0t+ --f-- sin(2πf1t) 2πfm
(2.2)

Maksimalna devijacija △fmax i indeks modulacije mf definirani su izrazima:

kfV kfV △fmax △fmax = -2π-, mf = 2πfm-= -fm---
(2.3)

Primjenom Fourierove transformacije na izraz (2.2) dobije se odgovarajući izraz u frekvencijskom području:

∑∞ XF M (f) = δ(f - f0)⊗ Jm(mf )δ(f - mfm ) m=-∞ = δ(f - f0)⊗ [J0(mf)δ(f)J1(mf )δ(f - fm )+ J-1(mf )δ(f + fm) + J(m )δ(f - 2f )+ J (m )δ(f + 2f )+ ...] 2 f m -2 f m
(2.4)

Izrazi Jm(mf) na desnoj strani predstavljaju Besselove funkcije prve vrste m-tog reda (Sl. 2.2).

pict

Slika 2.2: Besselove funkcije prve vrste m-tog reda

Na Sl. 2.3 prikazani su primjeri amplitudnih spektara FM signala uz modulacijski signal sinusnog oblika frekvencije fm i različite indekse modulacije. Spektralni sadržaj FM signala je neograničen i direktno ovisi o indeksu modulacije, međutim iznad neke frekvencije komponente brzo opadaju, pa se praktično širina spektra može ograničiti na:

BFM = 2(△fmax + fm )
(2.5)

pict

Slika 2.3: Amplitudni spektri FM signala za različite indekse modulacije mf (modulacijski signal je sinusni signal frekvencije fm)

Zadaci
  1. Definirati frekvencijski modulirani signal amplitude nosioca 10 V, frekvencije nosioca 1 Mhz i indeksa modulacije mf = 5. Modulacijski signal je sinusni signal frekvencije 100 kHz.
  2. Prikazati grafički frekvencijski modulirani signal i spektar amplitude frekvencijski moduliranog signala. Objasniti izgled frekvencijski moduliranog signala.
  3. Odrediti centralnu frekvenciju (vidi napomenu) oko koje je smješten spektar amplitude.
  4. Ponoviti zadatke 2 i 3 ako je frekvencija modulacijskog signala 50 kHz. Usporediti centralnu frekvenciju i pojasnu širinu s onima dobivenim u 2. zadatku. Komentirati.
  5. Ponoviti zadatke 2 i 3 ako je frekvencija nosioca 10 Mhz, a frekvencija modulacijskog signala 100 kHz. Usporediti centralnu frekvenciju i pojasnu širinu s onima dobivenim u drugom zadatku. Komentirati.
  6. Ponoviti zadatke 1 i 2 za sljedeće indekse modulacije: mf = 2 i mf = 0,5. U kakvoj su vezi indeks modulacije i pojasna širina frekvencijski moduliranog signala. Izračunati pojasnu širinu za frekvencijski moduliran signal indeksa modulacije 0,5 ako se zanemare frekvencijske komponente čija snaga je za 20 dB manja od snage najveće komponente.
Upute za rad
  1. Definiranje frekvencije nosioca <f_n> i frekvencije modulacijskog signala <f_m>.
     
    >> f_n = 1*1e6; 
    >> f_m = 100*1e3;
  2. Definiranje širine prozora za diskretnu Fourierovu transformaciju (DFT) <T> i broja uzoraka <N>. Širina prozora jednaka je periodu modulacijskog signala od 50 kHz, odnosno u taj okvir stanu dva perioda modulacijskog signala od 100 kHz.
     
    >> T = 1/(50*1e3); 
    >>  N  = 1024;
  3. Definiranje amplitude signala nosioca <d_t>, intervala između dva susjedna uzorka <d_t>, trenutaka uzorkovanja FM signala <t> i indeksa modulacije <m_f>. Frekvencijski modulirani signal se uzorkuje svakih <d_t> s. <d_t> je jednak omjeru širine prozora i broja uzoraka s kojim se signal uzorkuje.
     
    >>  A  = 10; 
    >> d_t = T/N; 
    >> t = 0:dt:T -d_t; 
    >> m_f = 0.5;
  4. Proračun frekvencijski moduliranog signala <x_fm> i spektra amplituda <X_fm> pomoću diskretne Fourierove transformacije.
     
    >> x_fm =  A *sin(2*pi*f_n*t + m_f*sin(2*pi*f_m*t)); 
    >> X_fm = abs(fft(x_fm)*d_t);
  5. Grafičko prikazivanje valnog oblika frekvencijski moduliranog signala i spektra amplituda.
     
    >> plot(x_fm) 
    >> figure 
    >> bar(X_fm)

Napomena: 2. Proračunom diskretne Fourierove transformacije dobiju se koeficijenti koji su složeni na sljedeći način:

[Af0Af1Af2 ...AfN2-...AfN -1]
(2.6)

Prvi koeficijent predstavlja istosmjernu komponentu, a ostali po apsolutnoj vrijednosti amplitude sinusnih signala pripadajuće frekvencije i faze. Frekvencije komponenti f1, f2, f3…, se izračunavaju se na sljedeći način:
Frekvencija i-tog harmonika fi = i⋅f1 gdje je f1 = 1∕T , frekvencija prvog harmonika a T je širina prozora (u sekundama).

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]